ANTI-DÜHRING
Herr Eugen Dühring's
Revolution in Science

by Frederick Engels

Written: September 1876-June 1878. Published: In German in Vorwärts, January 3, 1877 to July 7, 1878. As book, Leipzig 1878. Translation: Emile Burns. Transcribed for the Internet: director@marx.org, August 1996.

Capítulo XIII. Dialéctica. Negación de la negación

La matemática elemental, la matemática de las magnitudes constantes, se mueve en el marco de la lógica formal, por lo menos a grandes rasgos; en cambio, la matemática de las magnitudes variables, cuya parte principal es el cálculo infinitesimal, no es esencialmente más que la aplicación de la dialéctica a cuestiones matemáticas. La mera prueba pasa aquí claramente a segundo lugar tras la múltiple aplicación del método a nuevos campos de investigación. Pero casi todas las demostraciones de la matemática superior, a partir del primer cálculo diferencial, son, estrictamente hablando, falsas desde el punto de vista de la matemática elemental. Y ello no puede ser de otro modo al pretender, como aquí ocurre, demostrar por medio de la lógica formal los resultados conseguidos a nivel dialéctico.

Aún más contundentemente destaca la negación de la negación en el análisis superior, en aquellas "sumaciones de magnitudes infinitamente pequeñas" que el propio señor Dühring califica de operaciones supremas de la matemática, y que en el lenguaje corriente se llaman cálculo diferencial e integral. ¿Cómo se practica este tipo de cálculo?

Tengo, por ejemplo, en un determinado problema, dos magnitudes variables, x e y, una de las cuales no puede variar sin que varíe también la otra en una proporción determinada por la situación concreta. Diferencio entonces x e y, es decir, tomo x e y tan infinitamente pequeñas que desaparezcan prácticamente ante cualquier magnitud real, por pequeña que ésta sea, de modo que no quede de x e y más que su relación recíproca, pero sin su fundamento por así decirlo material: lo que queda es una relación cuantitativa sin cantidad dy/dx.

Entonces, dy/dx, la razón entre los dos diferenciales de x e y, es igual a 0/0, pero 0/0 tomado como la expresión de y/x. Indicaré sólo de paso que esta relación entre dos magnitudes desaparecidas, el momento petrificado de su desaparición, es una contradicción; contradicción que nos molestará tan poco como ha molestado en la matemática en general desde hace casi doscientos años.

¿Qué otra cosa he hecho sino negar x e y, pero no de tal modo que no me tenga que ocupar más de ellas, como niega la metafísica, sino del modo adecuado a la situación? En vez de x e y tengo, pues, ahora su negación, dx y dy, en las fórmulas o ecuaciones estudiadas.

Sigo entonces calculando con esas fórmulas, tratando a dx y dy como magnitudes reales, aunque sometidas a ciertas leyes excepcionales, y en un determinado momento niego la negación, es decir, integro las fórmulas diferenciales, recupero en vez de dx y dy las magnitudes reales x e y y me encuentro así no como al principio, sino con la solución de un problema ante el cual la geometría y el álgebra comunes se habrían roto tal vez los cuernos en vano.

La tarea de Engels en el Anti-Dühring

En todo caso, Marx ha supervisado el trabajo de Engels en el Anti-Dühring. Es incluso muy probable que la desorientada concepción del cálculo infinitesimal que expone Engels en el Anti-Dühring proceda de Marx. De Marx se conservan más de 1000 folios con cálculos y reflexiones matemáticas que el Instituto soviético no ha editado hasta ahora (probablemente con muy buen acuerdo).

Manuel Sacristán, Barcelona, 1º de Mayo de 1964.