Las Matemáticas ante el
nuevo milenio
Institute for Advanced Study
Olden Lane, Princeton, NJ 08540-0631, U. S. A.
El siglo XX ha sido un verdadero Siglo de Oro de las Matemáticas.
Muchos problemas importantes, planteados hace mucho tiempo, y a la espera
de solución, se han resuelto gracias, en gran medida, a la creciente
comprensión de las complejas relaciones que existen entre las distintas
áreas de las Matemáticas. La continua expansión y la profundización
en estas relaciones están permitiendo que las Matemáticas se aventuren
en la exploración de interacciones con otras áreas de conocimiento
científico.
Estas interacciones de distintas áreas de las Matemáticas
entre sí y, al mismo tiempo, entre las Matemáticas y otros campos
científicos, han conducido a novedosas y poderosas intuiciones que
han impulsado el avance del conocimiento matemático.
En lo que sigue voy a discutir algunas de estas interacciones e
intuiciones, a describir algunos logros de los matemáticos del siglo XX,
y a plantear alguno de los retos y oportunidades que nos aguardan
en el siglo XXI.
 Índice
Al discutir el trabajo matemático nos enfrentamos con un dilema.
La forma más eficaz de explicar las matemáticas a
un público general consiste en emplear metáforas,
lo que conlleva una pérdida de precisión que puede dar
lugar a interpretaciones erróneas. Por otro lado,
la terminología de la matemática avanzada resulta
incomprensible para la mayoría de la gente, e incluso para
otros científicos. Como ha dicho mi colega David Mumford:
Estoy acostumbrado, como matemático profesional, a vivir en una
suerte de vacío, rodeado de gente que se declara, con conspicuo orgullo,
analfabeta en matemáticas.
Sin embargo, dentro de la comunidad matemática, el uso de
un lenguaje preciso es una ventaja. Como consecuencia de su
naturaleza abstracta y de su universalidad, las Matemáticas
no conocen barreras lingüísticas ni políticas.
Esa es una de las razones que han hecho que las Matemáticas
se hayan caracterizado siempre por un estilo inequívocamente
internacional y no sorprende que un matemático japonés
pueda leer un artículo de un colega alemán sin necesidad
de traducción.
El número de matemáticos realmente activos en
investigación en todo el mundo es bastante pequeño,
no llega a diez mil, y eso hace que los que cultivan un área
específica de las Matemáticas constituyan un reducido
grupo de profesionales altísimamente especializados.
Por pura necesidad, estos colegas se conocen unos a otros muy bien,
independientemente de cual sea su país de residencia,
y colaboran en artículos conjuntos a pesar de las distancias
que los puedan separar.
A lo largo de este siglo XX, el número
de artículos en cuya elaboración han participado
matemáticos de diferentes países no ha cesado
de crecer, de hecho aumentó en un 50% entre 1981 y 1993.
Los matemáticos, por consiguiente, están muy bien
adaptados al mundo global y casi sin fronteras al que nos encaminamos.
Pero, ¿a qué se dedican de verdad los matemáticos?
En general, podemos describir la actividad matemática como
la búsqueda de estructuras y de pautas que aportan orden
y simplicidad a nuestro universo. Se puede incluso llegar a afirmar
que ni el punto de partida ni el objeto de un estudio matemático
son tan importantes como las pautas y la coherencia que emergen de
él. Esas pautas y esa coherencia proporcionan a las
Matemáticas su potencia, porque con frecuencia le permiten iluminar
con claridad objetos y procesos completamente diferentes y que se hallan
presentes en otras ramas de las Matemáticas, en otras ciencias o
en la sociedad en general.
Cuando los matemáticos discuten su trabajo, hay dos palabras
con una carga de significado muy especial. Las Matemáticas
son un campo de conocimiento donde un problema no
es algo malo. Al contrario, los matemáticos ansían buenos
problemas, pues un buen problema significa trabajo interesante. La segunda
palabra es demostración, un término que abiertamente
proclama el rigor de esta disciplina. Sir Arthur Eddington dijo una vez:
la demostración es un ídolo ante el que el
matemático se tortura a sí mismo.
Una demostración matemática es un desarrollo formal que
partiendo de un conjunto de axiomas y, a través
de pasos lógicos, alcanza una conclusión.
Cualquier demostración, una vez dada, es permanente;
algunas demostraciones han existido desde el tiempo de los griegos.
Las demostraciones confirman la verdad para el matemático,
de igual manera a como hacen los experimentos o las observaciones
para el científico de la naturaleza.
El siglo XX ha sido una época extremadamente fértil
en cuanto a la resolución de antiguos problemas abiertos,
y en el que se han logrado importantes avances que requerirían
de toda una enciclopedia para su adecuada exposición.
Vamos tan sólo a describir dos de los logros más
interesantes: ambos son soluciones a problemas de más
de trescientos años, que se obtuvieron al final de este siglo y
en los que se logró el éxito gracias a desarrollos
matemáticos previos.
Índice
El primero de estos logros es la demostración
de Andrew Wiles del último teorema de Fermat y cuya noticia dio
la vuelta al mundo en 1993. Las personalidades de Fermat y de Wiles y el
propio problema hacen este ejemplo particularmente interesante. Fermat
fue un excéntrico jurista y matemático aficionado que no
publicó artículo matemático alguno, mientras que Wiles
se afanó en solitario durante siete años por conseguir una
demostración del teorema.
En cuanto al problema, su solución
ha dependido, en última instancia, de avances fundamentales en la
Teoría de Números que se obtuvieron gracias al trabajo de
numerosos matemáticos durante un periodo de trescientos cincuenta
años y, en especial, durante el último medio siglo.
El enunciado del teorema
aparece en 1637 cuando Pierre de Fermat estaba estudiando un antiguo texto
de Teoría de Números, la Aritmética de
Diofanto. El interés en Teoría de Números
había ido declinando desde el tiempo de la Grecia Clásica,
pero Fermat amaba los números y se encontró con la
famosa ecuación pitagórica que todos aprendemos en el
colegio: x^2 + y^2 = z^2. Incluso hoy en día, los
escolares aprenden de memoria: El cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Entre las soluciones de la ecuación pitagórica son
de particular interés aquellas que consisten en números
enteros, tales como la del hermoso triángulo rectángulo
3,4,5. Fermat observó que, para cualquier exponente mayor que 2,
la ecuación no debería tener soluciones con números
enteros, y escribió en el margen, en latín, que había
descubierto una prueba maravillosa de este hecho pero, que ese margen
era demasiado estrecho para que cupiera. Fermat escribió muchas
anotaciones como ésta en los márgenes
de los libros que leía (algunas de las cuales parece ser que eran
burlas de matemáticos de su época) y a lo largo de
los años se fueron confirmando todas y cada una de ellas salvo
el último teorema de Fermat.
Andrew Wiles se tropezó con Fermat por primera vez a los
19 años en una biblioteca de Cambridge, Inglaterra, su ciudad
natal. Y fue ya entonces cuando decidió que algún
día lo demostraría. Sin embargo, siendo ya un
joven matemático, comprendió que no era recomendable
centrarse en perseguir a Fermat, y se decantó por trabajar en
un área compleja de la Teoría Algebraica de Números
que se conoce como Teoría de Iwasawa. Pero nunca olvidó a
Fermat.
En 1986 supo de un gran avance: un colega, Ken Ribet de la Universidad
de California en Berkeley, había logrado relacionar el
último teorema de Fermat con otro problema abierto, la conjetura
de Taniyama-Shimura, una formulación sorprendente y brillante
en Geometría Algebraica que había sido propuesta en 1955.
Para resumir una línea de razonamiento muy compleja, digamos
que la relación descubierta por Ribet demostraba que de una
solución (afirmativa) de la conjetura de Taniyama-Shimura
se concluía una demostración del último teorema de
Fermat, construyendo así un puente entre los intrincados mundos
de las curvas elípticas y de las formas modulares, una suerte de
diccionario que permite traducir preguntas e intuiciones entre los dos
mundos. Todo esto significó para Wiles que su trabajo previo en
Teoría Algebraica de Números podía ser útil
para resolver Fermat, y que tanto si lo lograba como si no, el intentarlo
podría ser fuente de nuevos problemas interesantes.
Y encontró una demostración, tras una serie de
desconcertantes obstáculos y repentinas intuiciones. De hecho,
tras anunciar sus resultados y durante el periodo de evaluación,
se detectó un error crucial cuya corrección le supuso a
Wiles un año adicional de trabajo. Visto y no visto, de repente
no había solución, pero, al final, sí la hubo.
Wiles describió la última idea que necesitó en los
siguientes términos:
fue el momento más importante de mi vida profesional, era
tan inefablemente hermosa, era tan simple y elegante que me quedé
perplejo e incrédulo durante veinte minutos.
Quizás la mejor forma que tengo para describir mi experiencia
al hacer matemáticas es como un viaje a través de una
oscura y desconocida mansión. Entras en la primera estancia y
está completamente a oscuras. Tropiezas con el mobiliario que
te hace caer, pero con el tiempo acabas sabiendo donde están
los muebles. Finalmente, tras unos seis meses, encuentras el interruptor
de la luz, lo accionas y todo se ilumina. Entonces descubres dónde
estabas exactamente. Luego te trasladas a la siguiente estancia
y te pasas otros seis meses en la oscuridad. De manera que todos estos
momentos de iluminación, algunos muy rápidos, otros de un
día o dos, son la culminación de los muchos meses de tropiezos
y caídas en la oscuridad que los precedieron, y sin los cuales no
podían existir.
Andrew Wiles, demostró el último teorema de Fermat en 1993.
¿Es posible que Fermat demostrase su teorema en el siglo XVII?
Sin duda, habrá gente que continúe buscando evidencia de
que sí lo demostró, pero yo creo que es bastante improbable
porque el trabajo de Wiles hace uso de áreas completas de las
Matemáticas de los dos últimos siglos que no existían
en tiempos de Fermat. Bajo la ecuación de Fermat yace ahora una
enorme y desarrollada estructura formal, el tipo de estructura que buscan
los matemáticos. La solución de Fermat surge como
consecuencia de entender esta estructura.
Índice
El segundo problema es la conjetura de Kepler sobre empaquetamientos
de esferas. Al igual que el problema de Fermat, el empaquetamiento de
esferas sólo se podía haber resuelto, en la forma en que
lo ha sido, en los últimos decenios. A pesar de esto, a
Thomas Hales, catedrático de matemáticas
de la Universidad de Michigan, su resolución le llevó diez
años de trabajo.
Al igual que Fermat, el problema del empaquetamiento de esferas tiene
una apariencia simple, pero ha derrotado los esfuerzos
de los matemáticos durante casi cuatro siglos. Además, ambos
problemas esconden sutiles dificultades que han llevado a creer a
más de un matemático que había encontrado una
solución, aunque ésta al final resultase falsa.
La cuestión aparece formulada por primera vez en la segunda
mitad del siglo XVI, cuando Sir Walter Raleigh le preguntó
al matemático inglés Thomas Harriot si sabía
de un procedimiento rápido para calcular el número de
balas de cañón que podían apilarse en la cubierta
de un barco. Por su parte, Harriot le escribió a Johannes Kepler,
el astrónomo alemán, quien ya se había interesado
por estas cuestiones: ¿cómo se han de apilar esferas
para minimizar el espacio entre ellas?
Kepler no pudo encontrar ningún sistema más eficaz para
apilar que el que usaban los marineros para las balas de
cañón o los fruteros para las naranjas, y que
se conoce como empaquetamiento cúbico centrado en las caras.
Y declaró que esta técnica de empaquetamiento era
la más prieta, y ninguna otra forma de apilar perdigones
en un contenedor permite empaquetar más.
Esta afirmación acabó por ser conocida como
la conjetura de Kepler.
El legendario matemático alemán Karl Fiedrich Gauss
aportó un importante avance en el siglo XIX cuando demostró
que el empaquetamiento de las naranjas es el más eficaz entre
los empaquetamientos reticulares, pero este resultado no
excluía la posiblidad de empaquetamientos no-reticulares
más eficaces. La conjetura de Kepler era ya a comienzos del siglo
XX lo suficientemente importante como para que David Hilbert la incluyera
en su lista de los 23 grandes problemas por resolver.
La dificultad del problema estriba en el inmenso número de
posibilidades que deben ser eliminadas. A mediados del siglo XX,
los matemáticos ya sabían como reducir el problema a
un análisis finito. Un importante avance tuvo lugar
en 1953 cuando el matemático húngaro Laszlo Fejes
Tóth redujo el problema a un enorme cálculo en el
que intervenían muchísimos casos específicos;
al mismo tiempo sugirió un procedimiento para resolverlo
por ordenador.
El reto era inmenso, incluso para Hales. Su ecuación tenía
150 variables, cada una de las cuales debía ir cambiando de valor
para así describir todos los apilamientos posibles.
La demostración, que se desarrolla en un argumento que ocupa
250 páginas y que incluye 3 gigabytes de
archivos de ordenador, depende fundamentalmente de métodos de
la Teoría de Optimización Global, Programación
Lineal y Aritmética de Intervalos. Hales reconoce que
pasará algún tiempo antes de que una demostración
de tal tamaño se haya podido verificar completamente en todos
sus detalles.
Vale la pena señalar, sin embargo, que este trabajo dista mucho
de ser un asunto frívolo. El tema de los empaquetamientos de
esferas pertenece a esa área crucial de las Matemáticas
en la que se fundamentan los códigos que detectan y corrigen
errores y que tanto se usan para almacenar información
en discos compactos y para comprimir información para su posterior
transmisión a cualquier parte del mundo. Es difícil imaginar
una aplicación de mayor relevancia en la sociedad de la
información en que vivimos.
Índice
Como anexo al empaquetamiento de esferas, vale la pena mencionar
un problema relacionado, un problema de cartografía
que se conoce como problema de los cuatro colores. Se trata de la
afirmación de que cuatro colores son suficientes para colorear
cualquier mapa de manera que se usen colores distintos en
países vecinos.
Este problema se asemeja al del empaquetamiento
en que probablemente debió parecer sencillo cuando lo
enunció por primera vez el matemático inglés
Francis Guthrie en 1852. También se parece en que la única
demostración de que disponemos consiste en reducirlo
a un problema finito, que luego requiere una ingente capacidad de
computación.
La demostración que en 1976 obtuvieron Wolfgang Haken y Kenneth
Appel, consiste en probar que si todos los mapas de una cierta lista
con x mapas se pueden colorear con 4 colores, entonces todos los mapas
se pueden colorear con 4 colores. A pesar de que el número
de mapas concebibles es infinito, la colorabilidad de todos ellos depende
tan sólo de la colorabilidad de una cantidad grande, pero finita,
de mapas fundamentales. Éste fue el primer problema importante y
significativo que sucumbió a la potencia de los ordenadores.
Son muchos los que han sugerido que la fuerza bruta de
las demostraciones por ordenador carece de la claridad de las demostraciones
tradicionales: las demostraciones por ordenador certifican que la conjetura
es correcta, pero no explican por qué lo es; sin duda, habrá
más debate sobre esta cuestión.
Índice
Ya hemos hecho referencia a la reputación que la
Matemática tiene de presumida; de hecho, con un cierto
complejo de superioridad se la ha llamado Reina de las Ciencias.
Las Matemáticas tiene como un aura de cielos azules, de ejercicios
al aire libre que se ejecutan porque sí. Hasta el punto de que el
matemático G. H. Hardy dijera en cierta ocasión que
sólo se puede justificar la práctica de las
Matemáticas como una forma de arte.
De hecho, podemos establecer un paralelismo con las artes. Los
matemáticos, como los artistas, confían en la
estética y en la intuición como guías
de su trabajo, y no es infrecuente que se resuelvan problemas
de Matemáticas mientras se da un paseo o se toma una ducha.
Pero en cuanto a su utilidad, la diferencia con las artes es patente.
Mencionemos unos pocos ejemplos: los modernos ordenadores no
podrían existir si no fuera por el sistema de numeración
binario de Leibnitz, Einstein no hubiera podido formular
su Teoría de la Relatividad sin el desarrollo de
la Geometría Riemanniana, y los edificios de la Mecánica
Cuántica, la Cristalografía y la tecnología de
las comunicaciones no se sostendrían sin la base que les
proporciona la Teoría de Grupos.
Además, la cantidad de conocimiento que abarcan los
matemáticos parece inmenso si lo comparamos con cuántos
son. Me refiero a que las construcciones mentales de los
matemáticos (una diminuta subpoblacíón de una
única especie en un único planeta) parecen reflejar
principios cuya validez se extiende por todo el Universo.
A mediados de siglo, el físico Eugene Wigner se
refirió a este fenómeno como la irracional eficacia de
las matemáticas (abstractas) en las ciencias naturales; a lo
que hoy en día añadiríamos eficacia en el
diseño de medicamentos, las finanzas, y muchos otros campos.
Muchas son las opiniones que tratan de explicar el origen de las
construcciones matemáticas. Artur Jaffe sugiere:
las ideas matemáticas no nacen ya crecidas de las mentes de
los investigadores: las Matemáticas a menudo se
inspiran en pautas de la Naturaleza. Las lecciones que se destilan de un
sólo encuentro con la Naturaleza continúan siendo
útiles cuando se exploran otros fenómenos.
Los matemáticos siempre han llevado sus descubrimientos
a campos de conocimiento próximos, dando lugar así a nuevos
puntos de vista y, en ocasiones, a áreas de estudio completamente
nuevas. Francis Bacon, en 1605, en los albores de la Ilustración,
aportó una primera formulación de este principio de ciencia
integradora con una imagen muy apropiada:
Es imposible descubrir nada si uno permanece en el llano, en el
mismo nivel; de igual manera no se pueden desvelar la partes más
remotas o profundas de ninguna ciencia si uno no abandona el nivel
de esa ciencia y asciende al nivel de una ciencia superior.
Con suma frecuencia a lo largo de todo el siglo XX las Matemáticas
han ascendido a ese nivel superior. Por ejemplo, el desarrollo de la
tomografía por Rayos X (las tecnologías de escaneado CAT y
MRI) se ha construido sobre la Geometría Integral,
la generación de códigos para transmitir datos con seguridad
depende de la aritmética de los números primos, y el
diseño de redes grandes y eficaces de telecomunicaciones usa
la teoría de las representaciones infinito-dimensionales de grupos.
Las Matemáticas tienen, por consiguiente, una naturaleza
dual: son una disciplina independiente apreciada por su precisión
y por su belleza intrínseca, y son, a la vez, una rica fuente de
herramientas para el mundo de las aplicaciones. Las dos caras de esta
dualidad se hallan íntimamente ligadas. Como vamos a ver en
la sección siguiente, el fortalecimiento de esta ligazón
durante todo el siglo XX ha permitido que las Matemáticas hayan
ido ganando eficacia tanto hacia dentro de sí mismas, como en
su aplicación a otros campos.
Índice
La razón fundamental que explica la salud de la que
hoy en día gozan las Matemáticas es el desmoronamiento de
las barreras que las compartimentaban. A primera vista, la envergadura
de las Matemáticas —un corpus enorme de conceptos, conjeturas,
hipótesis y teoremas acumulados durante más de 2000
años— parece desafiar la posibilidad de su unidad. Lejos quedan
los días en que un sólo gigante —un Euler o un Gauss— era capaz
de dominar las Matemáticas en su totalidad.
Con el enorme desarrollo de distintas áreas de las
Matemáticas tras la Segunda Guerra Mundial,
las Matemáticas se hicieron tan especializadas, que para los
propios matemáticos resultaba difícil comunicarse con
cualquiera ajeno a su propia especialidad. Y es frecuente, hoy en
día, que esos mismos especialistas se encuentren
dispersos por todo el mundo, y hallarlos en Bonn, Princeton, Berkeley,
o Tokyo.
Pero esta tendencia hacia la fragmentación se ha venido compensando
con una creciente inclinación a abordar problemas interesantes
con una actitud integradora. Gracias a conexiones que no cesan de emerger,
hoy contemplamos como partes de un todo áreas que hasta hace poco
se consideraba que no guardaban relación entre sí.
Por ejemplo, la Geometría Algebraica, el área de las
Matemáticas que me es más familiar, combina Álgebra,
Geometría, Topología y Análisis.
Cuando nos acercamos al final de este siglo, las sinergias en este
área tan conectada han desempeñado un papel estelar en
la consecución de algunos de los logros más descollantes.
Uno de éstos es desde luego la resolución del
último teorema de Fermat. Otro es la solución de la
conjetura de Mordell, que afirma que cualquier ecuación
polinómica de grado 4 o mayor con coeficientes racionales
puede tener a lo sumo un número finito de soluciones racionales
(la ecuación de Fermat no tiene ninguna solución de este
tipo). Y un tercero es la solución de las conjeturas de Weil, que
son los análogos de la Hipótesis de Riemann para los cuerpos
finitos. Todos estos éxitos reflejan la habilidad de los
matemáticos para, a la vez, incorporar ideas de distintas y
variadas subdisciplinas y para percibir su disciplina como un todo.
Índice
Uno de los logros más notables que se han conseguido en la
segunda mitad del siglo XX y que además ilustra con claridad
la unidad subyacente de las Matemáticas es la Teoría de
Solitones. Los solitones son ondas nolineales que exhiben un
comportamiento extremadamente inesperado e interesante.
Permítanme que les ponga en antecedentes. Tradicionalmente,
hablamos de dos tipos de ondas. Las primeras, las ondas lineales,
son las ondas familiares de la vida diaria, como, por ejemplo,
las ondas de luz y las ondas de sonido. Estas ondas tienen velocidad
constante, sea cual sea su forma: un Do sostenido viaja
a la misma velocidad que un Fa bemol. Y, además, tienen longitud
de onda constante: un Do sostenido sigue siendo un Do sostenido si lo oyes
a una manzana de distancia.
Las ondas lineales también obedecen al llamado principio de
superposición: si tocas varias notas simultáneamente
en un piano, siempre escucharás la suma de todas esas notas a la
vez, y esto es lo que produce armonía. Por muy complicado que sea
un sonido se puede descomponer en los armónicos que lo constituyen.
Las otras ondas, las no lineales, son menos familares y son bien
distintas de las lineales. Una ola en el mar aproximándose hacia
la orilla es un buen ejemplo de onda no lineal. Obsérvese que
ahora la amplitud, la longitud de onda y la velocidad, van variando
según avanza la ola, mientras que en las ondas lineales
éstas son constantes. La distancia entre las crestas va
decreciendo, la altura de las olas va creciendo mientras
van percibiendo el fondo, y la velocidad cambia; la parte superior
de la ola se adelanta sobre la inferior, cae sobre ella y la ola rompe.
Hay fenómenos aún más intrincados como el de dos olas
que se cruzan, interactúan de forma complicada y no lineal, y dan
lugar a tres olas en lugar de dos.
Ahora llegamos a los solitones. La historia comienza en 1834 cuando el
ingeniero escocés John Scott Russell investigaba el diseño
más eficiente de un bote para navegar por un canal. Cierto
día, observó que, en canales poco profundos, las olas
se comportaban de forma peculiar. Las olas pueden viajar largas distancias
a velocidad constante sin cambiar su forma, pero las de amplitud grande
viajan más rápidamente que las de amplitud pequeña.
Una ola grande puede alcanzar a una pequeña, y como resultado de
complejas interacciones, la ola grande emerge avanzando a mayor velocidad
que la pequeña. Tras esta interacción no lineal las dos
olas siguen su camino comportándose como ondas lineales.
A mediados del siglo XX, un equipo de investigación en
Matemáticas estaba estudiando la ecuación de ondas no lineal.
Como esta ecuación describe ondas no lineales, ellos esperaban
que sus soluciones exhibieran en algún momento singularidades,
o roturas, tal y como se observa en las olas que se cruzan,
interactúan y se rompen de forma no lineal. Escribieron
un programa de ordenador para resolver la ecuación
numéricamente y descubrieron, para su sorpresa, que la onda
no se rompía como habían previsto.
Esto les llevó a la ecuación de Korteweg-de Vries,
que había sido escrita cien años antes con el
propósito de describir el comportamiento de olas en aguas
poco profundas, y descubrieron que el fenómeno que Russell
había descrito se podía demostrar matemáticamente
usando esa ecuación; en otras palabras, las soluciones de la
ecuación de Korteweg-de Vries exhiben comportamiento
solitón. Se trata de ecuaciones extremadamente inusuales porque
los solitones se comportan como ondas lineales unas veces y como ondas
no lineales otras.
Este descubrimiento provocó una enorme actividad investigadora
que puso de manifiesto, de una forma muy hermosa, la unidad de las
Matemáticas. Concurrían aquí desarrollos en
Computación y en Análisis Matemático,
que es la forma tradicional de estudiar las ecuaciones diferenciales.
Resulta que estas soluciones pueden ser entendidas mediante elegantes
construcciones de Geometría Algebraica. Las soluciones
están también íntimamente ligadas a la
Teoría de Representaciones, porque estas ecuaciones poseen un
número infinito de simetrías ocultas.
Finalmente, estas ecuaciones también están relacionadas
con cuestiones de Geometría elemental. Por ejemplo, un problema
interesante es el de encontrar la superficie de un cono con volumen dado,
pero con la menor área entre todas las superficies con una
frontera dada. No es ni mucho menos evidente que este problema pueda tener
algo que ver con las olas de aguas poco profundas, pero la verdad es
que sí que tiene que ver. Las ecuaciones diferenciales
que describen las soluciones de este problema exhiben el mismo
comportamiento de solitones que las ecuaciones que describen las olas
de aguas poco profundas. De manera que hemos empezado con dos problemas
matemáticos, uno en Física Matemática y otros en
Ecuaciones Diferenciales, y hemos encontrado que los dos exhiben ese
mismo comportamiento tan interesante y extraño que tienen los
solitones.
Índice
Las Matemáticas no sólo han sido capaces de romper
sus barreras internas, sino que ahora interactúan con otras
ciencias y con las empresas, las finanzas, las cuestiones de seguridad,
la gestión, la toma de decisiones y la modelización de
sistemas complejos. Y algunas de estas disciplinas, por su parte,
están retando a los matemáticos con nuevas clases de
problemas interesantes que, a su vez, están dando lugar
a nuevas aplicaciones.
Índice
No hay mejor ilustración para este último asunto que
la Física Teórica. La Geometría Algebraica
está siendo utilizada por los físicos teóricos
en su búsqueda de una teoría unificada de campos, o de
manera más precisa, de una teoría que unifique la gravedad
con las tres fuerzas fundamentales de la Física: la fuerza nuclear
fuerte, la fuerza nuclear débil, y el electromagnetismo.
Uno de los candidatos con mejores posibilidades para esa nueva
teoría unificada de campos es la Teoría de Cuerdas.
El nombre procede de la idea de que los bloques básicos más
elementales de la materia son diminutos lazos vibrantes o segmentos que
tienen forma de cuerda y que vibran en distintos modos, como las cuerdas
de un violín. Los esfuerzos encaminados a entender esta
teoría tan compleja han llevado a un grupo de físicos
teóricos tan adentro en los territorios de las Matemáticas
que han sido capaces de pronosticar resultados matemáticos
sorprendentes que sólo recientemente, y poco a poco,
empiezan a verificarse. Estos resultados están estimulando
una gran actividad de trabajo que sigue aportando verosimilitud a esa
teoría, y hasta ha dado lugar a una nueva rama de la
Matemática de cuatro dimensiones que se conoce como
Geometría Cuántica que, a su vez, está abriendo
nuevas vistas en Física.
Otra indicación de la estrecha relación entre
Matemáticas y Física la podemos ver en las Medallas Fields
que se concedieron en 1998. La medalla Fields es la máxima
distinción que se concede en Matemáticas. De los cuatro
galardonados, tres de ellos trabajan en áreas con una fuerte
influencia de la Física; además se concedió
un premio especial por trabajo en computación cuántica,
que tiene sus raíces en la Mecánica Cuántica.
Índice
Una de las colaboraciones que más rápidamente crecen
es la que se da entre las Matemáticas y la Biología.
Esta asociación comenzó en el campo de la Ecología
en los años 20, cuando el matemático italiano Vito Volterra
desarrolló los primeros modelos de la relación
depredador-presa y encontró que podía describir
matemáticamente la sucesiva oscilación de las proporciones
de depredadores y de presas en poblaciones de peces. Tras la Segunda
Guerra Mundial, la metodología de modelización que Volterra
había desarrollado para poblaciones se extendió a la
Epidemiología, el estudio de las enfermedades en poblaciones
grandes.
Recientemente, los avances en la Genética Molecular han inspirado
la adaptación de estos mismos métodos a las enfermedades
infecciosas, donde los objetos de estudio no son poblaciones de organismos
o de gente, sino poblaciones de células. En un entorno
célular, el depredador es una población de virus,
por ejemplo, y la presa es una población de células
humanas. Estas dos poblaciones crecen y disminuyen en un combate darwiniano
por sobrevivir, que se puede describir matemáticamente.
En el último decenio, la capacidad para usar modelos
matemáticos para describir agentes infecciosos como depredadores y
células anfitrionas como presas, ha redefinido muchos aspectos
de la Inmunología, la Genética, la Epidemiología,
la Neurología y el diseño de medicamentos.
La razón por la que esta colaboración está
teniendo tanto éxito se debe a que los modelos matemáticos
aportan potentes herramientas para describir la inmensa cantidad de
números y de relaciones que se hallan presentes en los sistemas
biológicos.
Por ejemplo, los biomatemáticos han podido realizar predicciones
cuantitativas sobre cómo los virus y otros microbios se desarrollan
en sus anfitriones, sobre cómo cambian la estructura
genética de sus anfitriones, y sobre cómo
interactúan con el sistema inmunológico del anfitrión.
Alguno de los resultados más sorprendentes se han obtenido en el
estudio de la epidemia de SIDA, transformando nuestra forma de entender
el comportamiento del virus VIH en pacientes infectados. El punto de vista
predominante había sido que los virus VIH permanecían en
estado latente durante unos 10 años antes de empezar a infectar
las células anfitrionas y producir la enfermedad.
La modelización matemática ha mostrado que los virus VIH
que eran responsables de casi todo el daño no permanecían
latentes, sino que crecían constante y rápidamente con
una vida media de tan sólo dos días.
Si esto es así, ¿cómo es que entonces la
infección tarda una media de 10 años en empezar?
De nuevo, la modelización matemática ha mostrado
cómo la progresión de la enfermedad puede ser
causada por evolución vírica. El sistema inmunológico
es capaz de mantener a raya el virus durante largo tiempo, pero a la larga
los virus van mutando hasta hacerse lo suficientemente abundantes como
para aturdir al sistema inmunológico. Esto ocurre porque los virus,
como otros agentes infecciosos, se pueden reproducir más
rápidamente que sus anfitriones, y porque replican su material
genético de forma menos precisa.
Prácticamente todas las infecciones por VIH se ven como procesos
evolutivos en los que las poblaciones de virus cambian constantemente
y donde nuevos virus mutantes emergen continuamente. La selección
natural favorece las variantes que son capaces de esquivar las respuestas
del sistema inmunológico, o que infectan una mayor variedad de
células del cuerpo humano, o que se reproducen más
rápidamente. Los modelos muestran que todos los cambios evolutivos
incrementan la abundancia de virus en el paciente y por consiguiente
aceleran la enfermedad.
Estos mismos modelos matemáticos han permitido entender por
qué las drogas contra el VIH deben administrarse en batería,
y suministrarse cuanto antes en el proceso de infección.
Estas drogas son más eficaces al combinarse porque rara vez se
producen múltiples mutaciones a la vez. Y deben suministrarse
pronto, antes de que la evolución vírica pueda progresar.
La resistencia de los microbios a los medicamentos es una amenaza para
la salud de la humanidad en el próximo siglo, y esta es otro
área donde los modelos matemáticos pueden ser muy
útiles. Pueden aportar guías para cómo recoger
y analizar datos que permitan fabricar medicamentos más eficaces.
Buenos modelos de las complejas interacciones entre los agentes infecciosos
y el sistema inmunológico podrían dar lugar a una nueva
disciplina de inmunología cuantitativa.
Hay muchas otras colaboraciones entre las Matemáticas y las otras
ciencias. Gran parte del trabajo más innovador se está
llevando a cabo en las fronteras entre campos y disciplinas. Un ejemplo
excelente es el estudio de la dinámica de fluidos. Era virtualmente
imposible describir los complejos movimientos de los fluidos —huracanes,
flujo sanguíneo a través del corazón, petróleo
en terreno poroso— antes de que se descubriera que un objeto puramente
matemático, al que se conoce como ecuaciones de Navier-Stokes,
permitía justamente eso. Otro ejemplo es la Teoría de
Control, una rama de la Teoría de Sistemas Dinámicos,
que permite poner a prueba los diseños de aviones avanzados
mediante simulaciones por ordenador, reduciendo enormenente los costes
y los riesgos que conllevan los túneles de viento y los vuelos
de prueba.
Conviene resaltar que, aunque la modelización y la
simulación son temas modernos e importantes, aún
no están lo suficientemente desarrolladas como para resolver
las incertidumbres presentes en estas simulaciones complejas.
Una de las más importantes prioridades de la investigación
matemática es la de aprender a enfrentarse con la incertidumbre
inherente a la simulación. Los matemáticos deben desarrollar
enfoques fundamentalmente nuevos si es que quieren entender cómo
aparece y se propaga la incertidumbre en las simulaciones y en los
modelos. Nuestros modelos sólo pueden ser tan exactos como lo
sea nuestra capacidad de reducir la incertidumbre.
Índice
A pesar de los tremendos logros de las matemáticas
del siglo XX, docenas de problemas notables todavía
esperan solución. La mayoría de nosotros estaremos
de acuerdo en que los tres que comento a continuación, se
encuentran entre los más estimulantes e interesantes.
El primero de todos es
la Hipótesis de Riemann, que
ha atormentado a los matemáticos durante 150 años.
La Hipótesis de Riemann tiene que ver con el concepto de
números primo, que es la pieza básica de la
aritmética. Un número primo es un número entero
positivo mayor que 1 que no puede dividirse por ningún
número positivo excepto por 1 y por sí mismo.
La serie de los números primos comienza con 2, 3, 5, 7, 11,
13, y continúa sin límite. Nada menos que en el siglo III
antes de Cristo, Euclides ya había demostrado que no se
podía hallar un número primo que fuera el más
grande de todos ellos; en otras palabras, que había infinitos
números primos.
Pero, ¿siguen alguna pauta? En primera inspección
uno podría creer que los números primos van surgiendo
aleatoriamente. Pero en el siglo XIX, el matemático
alemán Bernhard Riemann extendió la observación
de Euclides y afirmó que no sólo había infinitos
números primos sino que se iban sucediendo según una
pauta muy sutil y precisa. Demostrar que esto es así
(o que no lo es) es quizás el problema más
profundo que existe en la Matemática pura.
Índice
Este problema es desconcertante porque, a la vez, es muy fundamental
y tiene una apariencia muy simple. En los días de Poincaré,
hace un siglo, se consideraba como una cuestión trivial al igual
que toda la Topología, un área de las Matemáticas
que, en esencia, él había inventado. La Topología
de hoy en día es un área vital y significativa de las
Matemáticas.
Grosso modo, la topología se interesa por las propiedades
fundamentales de las estructuras y de los espacios. Desde el punto de
vista de un topólogo, se puede estirar, comprimir o
torcer una esfera y seguirá siendo una esfera, siempre y cuando
no la pinchemos o la rasguemos. Un topólogo ve un donut y una taza
de café como la misma cosa, porque puede deformar cualquiera de
ellos hasta obtener una forma básica común a ambos, a la
que se llama toro. Los topólogos están particularmente
interesados en las variedades, nombre que sugiere multiplicidad de formas.
Un balón de fútbol, por ejemplo, es una variedad de
dimensión 2, una 2-esfera; lo podemos manipular como queramos,
pero sin romperlo, y seguirá siendo un balón de
fútbol.
El objetivo de los topólogos es identificar todas las variedades
posibles, incluyendo la forma del universo, que es el tema de
la conjetura de Poincaré.
Esto es relativamente fácil en 2 dimensiones, y se consiguió
al final del siglo XIX. El criterio para comprobar si una variedad es
una 2-esfera es muy simple. Imagine el lector que coloca una goma
elástica en la superficie de un balón de fútbol.
Si la goma se puede comprimir (sin salirse de la superficie)
hasta ocupar un solo punto, y esto en cualquier parte de la superficie,
el balón es una 2-esfera y decimos que es simplemente conexa.
En 1904, Poincaré conjeturó que lo que es válido
en 2 dimensiones lo sería también en 3 y que
cualquier variedad de dimensión 3 que sea simplemente conexa
(como el universo en que habitamos) ha de ser una 3-esfera.
Esto parece obvio, pero nadie ha sido capaz hasta ahora de demostrar que
no hay 3-esferas espurias, de manera que la conjetura no ha sido resuelta.
Por sorprendente que pueda parecer, la conjetura análoga para
dimensiones mayores que 3 sí ha sido comprobada, pero la
dimensión tres se resiste.
Índice
Este problema, el tercero en nuestra lista, está
íntimamente ligado al problema filosófico de discriminar
lo que se puede llegar a conocer y lo que no. En 1931 el lógico
Kurt Gödel, austríaco de nacimiento, estableció que
no se podía alcanzar la certeza absoluta en la aritmética,
suponiendo que la aritmética se fundamente en ciertas propiedades
de los números enteros evidentes en sí mismas, o axiomas.
En la Teoría de la Computación, Alan Turing fijó
en los años 1930 las reglas para discernir entre lo que es
computable y lo que no lo es. Una cuestión más refinada
es preguntarse lo que es computable en tiempo polinomial, o en tiempo P.
En el conocido problema del viajante, por ejemplo, tiempo polinomial
significa que se puede escribir un programa de ordenador para calcular
el mejor recorrido para visitar n ciudades en un tiempo razonable,
entendiendo por razonable un tiempo de n^2 o de n^3.
En problemas cada vez más complejos, el tiempo de
computación puede crecer exponencialmente, hasta transformarse
en computacionalmente intratable o NP. Por ejemplo,
la mayoría de los códigos criptográficos de hoy
en día se basan en la hipótesis de que factorizar
números grandes es computacionalmente intratable.
En el momento presente se están sucediendo desarrollos
muy interesantes sobre la cuestión
P versus NP que
podían estar relacionados con el teorema de incompletitud de
Gödel. Según parece, ciertos enunciados matemáticos
entre los que se incluyen los que se refieren a cotas inferiores de
tiempo de encriptación, tales como P no es NP, no se pueden
demostrar dentro del marco de la Aritmética de Peano, que es
la forma estándar y más natural de la Aritmética.
No se ha podido demostrar esta tesis todavía,
pero su resolución parece factible en un futuro inmediato. Lo que
sí se sabe es que todas las técnicas que hasta ahora se
han venido usando para demostrar cotas inferiores en modelos
computacionales, residen en un fragmento inicial específico
de la Aritmética de Peano. Más aún,
las técnicas empleadas hasta ahora son incapaces de distinguir
entre P y NP, a menos que se disponga de algoritmos
mucho más rápidos para la factorización
de enteros de los que ahora se conocen o cuya existencia siquiera
se sospecha. En otras palabras, discriminar entre problemas
P y NP dependerá en última instancia de
si podemos factorizar enteros mucho más
rápidamente de lo que pensábamos que pudiera ser posible.
Índice
El área que estamos discutiendo, la Computación
Teórica, es uno de los campos de investigación
científica más importantes y activos del momento presente.
La Computación Teórica se inició hace medio siglo,
antes de que existieran los ordenadores, cuando Alan Turing y sus
contemporáneos se propusieran definir matemáticamente
el concepto de computación y estudiar sus límites
y posibilidades. Estos estudios dieron lugar a la construcción,
por Von Neumann, del primer ordenador permitiendo así
la revolución informática de la que somos testigos.
La utilidad práctica de los ordenadores y la inesperada
profundidad del concepto de computación han ampliado
de manera significativa el alcance de la Computación
Teórica (CT). En el último cuarto de siglo la CT
ha crecido hasta convertirse en un rico y hermoso campo científico
pleno de conexiones con otras ciencias y capaz de atraer a
científicos de primera fila. Describiré a
continuación algunos aspectos de esta evolución.
Primeramente, hay que señalar el cambio de enfoque
que supuso pasar de la noción de computación al
concepto mucho más esquivo de computación eficiente.
Se formuló la noción fundamental de completitud-NP,
se fue entendiendo gradualmente el impacto casi universal de esta
noción y se establecieron metas a largo plazo
tales como resolver la cuestion de P contra NP.
Asimísmo, se desarrollaron la Teoría de Algoritmos y
una amplia gama de modelos computacionales. La aleatoriedad entró
en juego como recurso y herramienta fundamental revolucionando de paso
la Teoría de Algoritmos.
Es significativo que la emergencia, en la Teoría de la Complejidad,
de la noción de función de una vía, en
conjunción con el uso de la aleatoriedad, haya conducido al
desarrollo de la moderna criptografía. Lo que mucha gente
pensó al principio que no eran sino ejercicios mentales,
tales como jugar al póquer sin cartas, ha dado lugar a una potente
teoría y a sistemas prácticos de la mayor importancia
económica.
La Teoría de la Complejidad, cuyo principal objetivo es la
clasificación de los problemas según su dificultad
computacional, ha ido integrando muchas de estas ideas y
propiciando el estudio de la complejidad de las demostraciones, cuya meta
es cuantificar aquello que constituye una demostración.
El desarrollo de la Computación Teórica
se ha visto impulsado no sólo por estas actividades internas sino
además por un fértil intercambio de ideas con áreas
como la Combinatoria, el Álgebra, la Topología y el
Análisis. Además, los problemas fundamentales de la CT,
como P contra NP,se han destacado como prominentes
problemas centrales de toda la Matemática.
Cada vez más los matemáticos se interesan por los aspectos
computacionales de sus campos de estudio tradicionales. En otras palabras,
partiendo del hecho de que un objeto existe se pasa a la
cuestión de ¿cuánto se tarda en encontrarlo?
Un último aspecto de la CT, que para mucha gente es el más
interesante, es que este campo científico se superpone
ahora sobre una nueva y amplia gama de cuestiones algorítmicas de
las otras ciencias. En estos problemas, los datos de salida de los
algoritmos no están del todo bien definidos y podrían
ser casi cualquier tipo de datos: una foto, un sonograma, datos
suministrados por el telescopio espacial Hubble, cotización de
acciones de Bolsa, sucesiones de ADN, registros neuronales de animales
cuando reaccionan ante distintos estímulos. Los modelos
matemáticos se usan para dar sentido a estos datos y predecir
sus valores futuros.
La propia noción de computación, y las principales
cuestiones que la rodean, ha adquirido un profundo significado
filosófico. Aparte de la cuestión de P contra NP,
la CT ha formulado algunas otras preguntas claras y de profundo
interés, tales como ¿puede la aleatoriedad ayudar en
la computación? ¿qué es lo que hace que un teorema
sea difícil de probar? o ¿se puede simular la
mecánica cuántica con medios clásicos?
El terreno está abonado para que se produzca un crecimiento
apasionante y una forma fundamentalmente nueva de entender
este campo de la Computación Teórica.
Índice
Otra área nueva y apasionante de investigación es
la Computación Cuántica. Este área está
íntimamente relacionada con la cuestión de P
contra NP por mor de una sorprendente demostración de 1994.
Se descubrió entonces que, si se pudiera construir un ordenador
cuántico, se podría descifrar cualquiera de los
códigos que habitualmente se emplean en las comunicaciones
actuales y que tan seguros se suponen.
La necesidad de formas fundamentalmente nuevas de computación
es acuciante, particularmente para los modelos complejos de
simulación. Aunque los ordenadores actuales son extremadamente
rápidos, todavía usan el sistema clásico de
cálculo binario con ceros y unos que data de la máquina
de sumar de George Boole de hace 150 años. Hasta hace bien poco
este sistema se ha considerado suficiente, sobre todo
a la vista de la Ley de Moore, la observación de que
la capacidad de los chips de los ordenadores se duplica
cada dos años, mientras que sus precios caen a la mitad.
Esto ha sido posible gracias a constantes mejoras en ingeniería
y a la producción de chips cada vez más
pequeños. Pero ahora nos estamos aproximando a los límites
que la Mecánica Cuántica impone sobre cuán
pequeños pueden llegar a ser los chips.
Estos límites ya fueron previstos en 1982, cuando Richard Feynman
predijo que los esfuerzos para simular sistemas de Mecánica
Cuántica en ordenadores digitales estaban lastrados con inevitables
carencias, aunque en una larga nota al margen propuso que esta dificultad
se podría soslayar mediante alguna forma de ordenador
cuántico. En 1985, David Deutsch estimuló la
discusión al sugerir que si los ordenadores cuánticos
podían ser lo suficientemente rápidos para resolver
problemas de Mecánica Cuántica entonces, podrían
resolver problemas clásicos más rápidamente.
Parece ser que es así. En 1994, Peter W. Shor demostró
que un ordenador cuántico podría factorizar números
grandes en un tiempo que es una potencia del tamaño del
número, mejorando exponencialmente, en cuanto a velocidad,
los algoritmos clásicos. Ese resultado supuso dos sorpresas.
Primera, los criptógrafos de hoy usan números grandes como
códigos de seguridad porque son muy difíciles de factorizar,
algo que un ordenador cuántico podría hacer muy
rápidamente. Segunda, los estudiosos de la Computación
Teórica creían que ningún tipo
de computación podía ser mucho más rápido que
el de los ordenadores digitales convencionales.
Por otro lado, los científicos experimentales no
saben a ciencia cierta como construir esos ordenadores cuánticos.
Mientras se persigue esta posibilidad se están desarrollando otros
esfuerzos paralelos para diseñar ordenadores basados en principios
distintos del de la artimética Booleana, todos con el
propósito de expandir la capacidad de computación.
Vamos a asistir en los próximos años, con seguridad,
a intensos y apasionantes trabajos sobre estas ideas.
Índice
En su mayor parte, este ensayo ha estado dedicado a explicar
tendencias y problemas de investigación. Sin embargo, sería
irresponsable discutir investigación sin mencionar el contexto en
que ocurre. El éxito de la investigación depende de la calidad
de la gente que la hace y del grado en que recibe apoyo sostenido por parte
de la sociedad; en otras palabras, requiere capital humano.
El próximo milenio nos traerá una serie de cuestiones de
contexto que supondrán retos tan importantes como los propios
problemas de investigación que queremos resolver.
Primero, ¿cómo podemos atraer a los mejores
jóvenes talentos hacia las matemáticas? El último
medio siglo ha sido testigo de una significativa evolución.
Durante la Segunda Guerra Mundial, el sistema y las técnicas de
la Ciencia y la Tecnología generaron tal entusiasmo que muchos
jóvenes estudiantes de la posguerra se sintieron atraídos
hacia carreras en investigación científica.
Esta tendencia recibió un notable estímulo en 1957 cuando
la Unión Soviética lanzó al espacio el
satélite Sputnik y la Ciencia pasó a ser reconocida por
el poder político y económico que podía generar.
La investigación científica se hizo tan importante para
la sociedad como fascinante para los investigadores.
Sin embargo, el final de siglo ha visto cómo el interés
social por muchas campos de investigación científica
ha decaído en muchos países. Las Matemáticas y la
Ciencia, salvo quizás las Ciencias Biomédicas, han perdido
importancia para la sociedad y no ofrecen ahora oportunidades profesionales
atractivas. Tanto en los países desarrollados como en aquellos en
vías de desarrollo, muchos estudiantes brillantes, que en otros
tiempos hubieran escogido carreras en Matemáticas, eligen ahora
carreras en Informática, la empresa y otros campos donde el futuro
parece más prometedor. Se constata, sin dificultad, una falta de
aprecio por la riqueza y relevancia de la Ciencia.
Es irónico que el interés de los estudiantes esté
en un punto tan bajo cuando nunca antes las oportunidades profesionales
para los matemáticos han sido tantas y tan diversas. Esto no
sólo es cierto para las áreas tradicionales que
están floreciendo con ricos y nuevos desarrollos y retos,
sino también en las aplicaciones, donde la demanda de
matemáticos con entrenamiento adecuado no cesará
de crecer en el futuro inmediato. La primera razón responsable del
desinterés de los estudiantes es que no comunicamos una imagen
completa de las Matemáticas como una disciplina en la que uno
puede escoger entre una amplia gama de carreras, que ofrecen a la vez
retos y gratificación intelectual.
Quienes en mejor posición se hallan para poder transmitir este
atractivo son, sin duda, los profesores de Secundaria y
los de Universidad, y también, los antiguos estudiantes.
Sin embargo, éstos sólo pueden describir las actuales
oportunidades profesionales y las áreas en rápido
desarrollo, si ellos, a su vez, se informan hablando con los propios
profesionales. La comunidad matemática, por consiguiente, se
enfrenta a un reto crítico: propiciar una mayor interacción
a todos los niveles desde la educación hasta la práctica
profesional y ampliar los canales de comunicación con los
estudiantes que en su momento nos han de reemplazar y continuar
nuestro trabajo en el siglo XXI.
Índice
Hay una estrecha relación entre nuestras necesidades educativas
y la conveniencia de comunicarnos con la sociedad, educándola en
asuntos de Matemáticas. Por supuesto que los matemáticos
entienden y valoran su propio trabajo, pero mucha gente en la
administración, las empresas, e incluso, en educación no
son partícipes de este aprecio. Para que la investigación
que desarrollan en las universidades sea financiada con fondos
públicos es perentorio que los matemáticos le presenten a
la sociedad una imagen más vívida de esa investigación
y de su poder para profundizar en nuestro conocimiento y mejorar nuestra
calidad de vida. No podemos permanecer impasibles ante las necesidades
de la sociedad y continuar trabajando en una torre de marfil.
La cultura del próximo milenio será interactiva y
participativa. Los matemáticos no pueden dejar pasar la oportunidad
de no sólo colaborar con otros matemáticos y
científicos, sino de, además, acercarse a la comunidad en
su conjunto. Los matemáticos están particularmente
capacitados para articular el poder que las Matemáticas tienen
para catalizar avances importantes en Ciencia y salud, para promover
el uso de poderosas herramientas para la economía,
para la mejora de la eficacia, y para explorar las pautas y las verdades
del mundo en que vivimos.
Índice
Finalmente, la tendencia hacia la pluridisciplinaridad se merece
una mención especial. Hemos visto cómo en las
Matemáticas gran parte del trabajo más productivo se
está llevando a cabo en las fronteras entre áreas y
disciplinas. Las Matemáticas pierden cuando se aíslan o
se fragmentan ajustándose a compartimentos disciplinares.
Sin embargo, muchas instituciones no están reaccionando
con la celeridad requerida. Las universidades de todo el mundo, muchas
industrias y las propias administraciones estatales tienen mucho que ganar
si eliminan las barreras que dificultan la colaboración.
En particular, es mucho lo que se puede hacer para reforzarla
interacción entre los matemáticos académicos y
los que trabajan en la industria. Las misiones primordiales del mundo
académico y de la industria son radicalmente diferentes; sin
embargo, las dos culturas tienen mucho que aprender la una de la otra y
podrían beneficiarse si colaborasen. En general, la actividad
científica sólo puede funcionar a plena potencia cuando
los conocimientos fluyan sin tardanza entre los creadores y los usuarios
de las matemáticas.
Índice
La globalización, la interdisciplinaridad y la apertura de la
actividad matemática son tendencias nuevas y potentes. Como apunte
de los tiempos venideros queremos resaltar el modo en que Thomas Hales
decidió anunciar su demostración del problema de Kepler del
empaquetamiento de esferas. En lugar de publicar su trabajo en una revista
científica, a la que normalmente sólo tiene acceso un
reducido número de especialistas, decidió exhibirlo a
través de Internet ante una audiencia ilimitada. Y no sólo
esto, sino que además instó abiertamente a que se revisara
en detalle su demostración e invitó a que se aportaran
ulteriores contribuciones; dando lugar así a una significativa
novedad en el tan competitivo mundo de la alta Matemática.
Los matemáticos nos planteamos dos objetivos ahora que entramos
en un nuevo milenio. El primero es el de ser capaces de mantener
la tradicional fortaleza de nuestra investigación básica,
que es semillero de nuevas ideas y nuevas aplicaciones. El segundo es
ampliar nuestro contacto con el mundo que está más
allá de la Ciencia. Cada año que pasa, los
matemáticos van consiguiendo ser más eficientes en el
trabajo que ofrecen a los demás y en la tarea de incorporar a
otros al mundo de las matemáticas.
Índice
Este artículo apareció en The American Mathematical Monthly 107 (2000).
La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española agradece a la
Mathematical Association of America el permiso para su traducción y
publicación.
El Profesor Phillip A. Griffiths es, desde 1991, el séptimo director
del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y desde 1998 es
Secretario de la Unión Matemática Internacional. Entre 1972 y 1983,
fue catedrático de la Universidad de Harvard y desde 1983 hasta 1991
fue catedrático (James B. Duke Professor) y Rector de la Universidad
de Duke. También ha sido profesor de la Universidad de Princeton y de
la Universidad de California en Berkeley. El Doctor Griffiths nació
en Raleigh, Carolina del Norte y se doctoró en la Universidad de Princeton.
Es miembro de la National Academy of Sciences y de la American
Philosophical Society. Ha sido miembro del National Science
Board entre 1991 y 1996.
La Gaceta de la Real Sociedad Matemática
Española Vol. 3 (1) Enero-Abril 2000, pp. 23-41
Visita MBilbao Labs
29 de Diciembre de 2000
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