Investigación teórica: Método
Como modelo de órgano supondremos en lo que sigue una simetría esférica con conductividad constante. La segunda hipótesis simplificatoria que hemos hecho ha sido suponer que el órgano se enfría exclusivamente por la periferia, y no por su sistema vascular. En la realidad, cuando se realiza un trasplante este es el modo convencional de enfriamiento. Pero si ahora nosotros pretendemos enfriar más rápidamente el interior del órgano y evitar fuertes gradientes de temperatura, no tendremos más remedio que utilizar sus propios capilares como vías de transporte del frío. Estas dos hipótesis simplificatorias son las que trataremos de evitar en la segunda parte del proyecto, con un modelo de órgano más realista y un enfriamiento a través del sistema vascular. Como se dijo anteriormente, este refinamiento es fruto de la colaboración con los Profs. S. Alvarez y A. Blanco, de la E.S.I. de Sevilla.
Bajo los hipótesis anteriores, un corte transversal del órgano sería algo así como lo que se muestra en la figura siguiente.
Cuando el órgano se comienza a enfriar por su periferia las células que lo forman iniciarán el proceso de deshidratación, como se explica en el siguiente párrafo. En la figura se indica el flujo de agua saliente. Para estudiar el campo de temperaturas cuando enfriamos el órgano tendremos que resolver la ecuación del calor:
con las condiciones de contorno
La solución de esta ecuación puede forma escribirse mediante una serie de Fourier de la forma
[1]
Conocido el campo de temperaturas, hemos ahora de analizar el grado de subenfriamiento de cada célula (probabilidad de formación de hielo intracelular), el grado de concentración de los solutos y el grado de deshidratación.
Desde el momento que se induce la formación de hielo extracelular se produce un desequilibrio del potencial químico del agua, mayor en la solución intracelular, lo que se traduce en un flujo de agua saliente que trata de restaurar de nuevo el equilibrio. La intensidad de este flujo se puede expresar en función de la diferencia de presiones osmóticas entre el medio intracelular y extracelular
donde V es el volumen de agua intracelular, k es la constante de permeabilidad de la membrana celular, A es la superficie de la membrana, y pi y pe son la presión osmótica interna y externa respectivamente.
Conviene ahora escribir las presiones osmóticas en función de las presiones vapor, ya que para esta tenemos importantes herramientas termodinámicas que nos serán muy útiles. La relación entre la presión osmótica y la presión de vapor viene dada por la ecuación
donde po y p son las presiones de vapor del agua pura y del agua en la solución respectiva, y v1 es el volumen molar parcial del agua.
Sustituyendo el volumen molar parcial del agua v1 por su volumen molar v10 tenemos
Nosotros ahora consideramos una tasa de enfriamiento exponencial, es decir, un perfil de la forma con B<0. Tendremos
[2]
Esta ecuación a la que llegamos es sensiblemente distinta a la que obtuvo Peter Mazur [P. Mazur, 1963]. La dependencia exponencial de la temperatura con el tiempo simplifica notablemente la ecuación, haciendo que no aparezca la temperatura en el miembro derecho, con lo que su integración, como se verá, resulta mucho más fácil.
Por último, eliminando el cociente de presiones de vapor aplicando la ley de Raoult y la ecuación de Clausius-Clapeyron llegaremos a una expresión muy útil. Suponiendo que la solución intracelular es una solución diluida ideal podemos aplicar la ley de Raoult; derivando con respecto a la temperatura y aplicando la ecuación de Clausius-Clapeyron obtenemos:
donde es la fracción molar de agua, y es el calor molar de vaporización.
El cambio de la presión de vapor del hielo extracelular será:
Supondremos que la solución extracelular permanece en todo momento en equilibrio termodinámico con el hielo formado, de forma que la presión de vapor de la solución parcialmente congelada verificará la ecuación anterior.
Restando las dos últimas ecuaciones obtenidas y teniendo en cuenta la relación entre los distintos calores latentes, Lf=Lv-Ls , tenemos
Expresando la fracción molar de agua en función del volumen de agua
donde n1 y n2 son los moles de agua y soluto respectivamente, llegamos a la siguiente ecuación
[3]
Sustituyendo la ecuación [2] en la ecuación [3] y teniendo en cuenta la dependencia de la permeabilidad con la temperatura en la forma k=kg.eb(T-Tg) siendo Tg la temperatura de referencia a la que se conoce la constante de permeabilidad, finalmente obtenemos la expresión que nos permite expresar el volumen de agua celular y la concentración de solutos en función de los parámetros de enfriamiento y de las características de la célula,
cuya integración permite obtener el volumen de agua dentro de la célula, la concentración de los solutos, el grado de subenfriamiento y la probabilidad de formación de hielo intracelular.
A continuación se muestra de forma gráfica los resultados más importantes obtenidos hasta la fecha. La integración numérica de todas estas ecuaciones ha sido realizada con los programas MatLab y Mathemática.
Si ahora acoplamos el campo de temperaturas obtenido en [1] con la probabilidad de formación de hielo intracelular, introduciendo el perfil real de temperaturas [1] en la ecuación que dio pie a [2] (o sea, el correcto valor de B), entonces seríamos capaces de predecir la probabilidad de formación de hielo en cada punto del órgano, y así diseñar el protocolo óptimo de criopreservación que reduzca al mínimo esta probabilidad. Se está justo en esta fase del trabajo.
La fase siguiente consistirá en conocer con exactitud el campo de temperaturas, o lo que es equivalente, evitar las hipótesis simplificatorias que se introdujeron inicialmente.
Aún cuando esta empresa no es sencilla, contamos con la importante ayuda de los Profs. S. Álvarez y A. Blanco, y a sugerencia suya se abordará de la siguiente forma.
Con técnicas de microscopía óptica se obtendrá una colección de imágenes del miocardio. Esta colección de imágenes son cortes transversales del corazón (dada su estructura, este el perfil óptimo) y su conjunto representará por entero el corazón. Seguidamente se hace el estudio del campo de temperaturas en cada corte anterior . Para ello, en primer lugar se “escaneará” la imagen, definiendo seguidamente en ella tres regiones: el capilar, el miocito y el medio extracelular. Cada una de estas regiones tendrá una conductividad térmica distinta. Seguidamente se estudia el problema de transferencia de calor en cada una de las celdillas resultantes del proceso de digitalización. Por último se abordará el problema global, o sea, el acoplamiento del conjunto de ecuaciones resultante de resolver cada celdilla, lo que dará lugar al conocimiento del campo de temperaturas en el corazón cuando está siendo prefundido con crioprotector. Este campo de temperaturas, junto con las ecuaciones termodinámicas expuestas anteriormente nos dará la probabilidad de real de formación de hielo en el corazón durante el procesos de conservación en frío.
